کاربردهای شبیه سازی مونت کارلو

مسائلی که با بهره گرفتن از روش های متنوع شبیه سازی مونت کارلو قابل حل بوده اند را می توان به دو گروه کلی مسائل قطعی و مسائل احتمالی تقسیم بندی نمود که رویه ها و فرآیندهای مربوط به هر دو گروه بطور مستقیم با فرآیندهای تصادفی در ارتباط بوده اند. در این گونه از مسائل یکی از ساده ترین راه حل ها، استفاده از رویه های مربوط به شبیه سازی مونت کارلو بوده که در آنها در گام اول اعداد تصادفی موجود را مشاهده نموده و سپس در گام بعد به دنبال روشی جهت شبیه سازی مستقیم فرآیندهای تصادفی مربوط به مسئله اولیه بوده ایم و در ادامه راه حلی منطقی و مطلوب از شبیه سازی اعداد تصادفی استنتاج می نماییم.

مطالعه در مورد میزان رشد جمعیت حشرات با در نظر گرفتن فرضیات آماری مشخص در مورد زنده ماندن آنها و مطالعات مربوط به طراحی راکتورهای هسته ای نمونه هایی از مسائل احتمالی بوده که با بهره گرفتن از روش های شبیه سازی مونت کارلو قابل حل بوده اند. این مسائل و مسائلی مانند آنها، مسائلی بوده اند که تا قبل از پیدایش روش های مونت کارلو  روش های قابل قبولی جهت حل آنها وجود نداشته است، اما با پیدایش و استفاده از روش های شبیه سازی مونت کارلو این گونه مسائل نیز قابل حل گشته اند.

از سوی دیگر یکی از مهمترین نقاط قوت ریاضیات تئوری، که در آن به دنبال نتیجه گیری و کشف ارتباطات از طریق قیاس های منطقی بوده ایم در مقابل ریاضیات کاربردی و عملی که در آن نتیجه گیری و کشف روابط از طریق مشاهدات متنوع و گسترده حاصل می شود، جامعیت آن بوده است بدین معنی که مسائل مربوط به این شاخه از ریاضیات را می توان با بهره گرفتن از علائم و روابط کلی مطرح و حل نمود. البته مزیت پیش گفته ممکن است این عیب را نیز به همراه داشته باشد که رابطه نهایی تولید شده در مورد این مسائل ممکن است آن چنان پیچیده و مشکل شده باشد که دیگر قابل حل حتی از طریق روش های عددی نیز نباشند.

ایده اصلی مربوط به مسائل قطعی که با بهره گرفتن از روش های شبیه سازی مونت کارلو قابل حل بوده اند نیز مربوط به این گروه از مسائل ریاضی و جهت رفع عیب گفته شده در خصوص این مسائل بوده است. روش های شبیه سازی مونت کارلو با بهره گرفتن از فرآیندهای تصادفی سعی می نمایند جواب هایی قابل قبول برای مسائل قطعی که در ریاضیات تئوری قابل مشاهده بوده است ارائه نمایند و به این ترتیب راه حلی عددی برای این گونه مسائل عرضه نمایند. برای مثال مسئله ای در تئوری الکترومغناطیسی که نیازمند حل با بهره گرفتن از رابطه لاپلاس و با شرایط مرزی مشخصی بوده است نمونه ای از گونه مسائل پیش گفته بوده است که می توان آن را با بهره گرفتن از روش شبیه سازی مونت کارلو حل نمود.

کاربردهای شبیه سازی مونت کارلو بسیار متنوع بوده است، اما در حالت کلی می توان تمامی آنها را در قالب دو گروه مسائل ریاضی ذیل مطرح نمود:

1. مسائلی که نیازمند حل مشتقات جزئی بوده است.
2. مسائلی که نیازمند حل انتگرال بوده است.

گرچه گستره کاربرد روش های شبیه سازی مونت کارلو بسیار متنوع بوده است، اما با این وجود دو گروه مسائل مطرح شده فوق عمده ترین مسائلی بوده اند که با بهره گرفتن از شبیه سازی مونت کارلو می توانیم آنها را حل نمائیم.

بر اساس قانون قوی اعداد بزرگ که در سال 1971 میلادی توسط  فلر مطرح شده است، اگر مقدار N یعنی تعداد اعداد تصادفی انتخاب شده یا تعداد تکرارهای شبیه سازی در روش شبیه سازی مونت کارلو به سمت بی نهایت میل نماید میزان خطای این روش نیز به سمت صفر میل نموده و در این حالت مقدار دقت جواب حاصله از این روش حداکثر بوده است.

دقت روش های شبیه سازی مونت کارلو  به صورت نسبتی از  مطرح بوده است که در آن مقدار N بیانگر تعداد نقاط تصادفی بوده است. این رابطه نشان می دهد که جهت دستیابی به دقت مورد نیاز بایستی تعداد نقاط تصادفی و به بیانی دیگر تعداد تکرارهای مربوط به شبیه سازی را افزایش داد و هر چقدر این مقادیر را افزایش داد دقت جواب مسئله نیز بیشتر و خطای مربوط به آن کمتر خواهد شد. روش های متعددی مطرح شده اند تا تعداد تکرارهای شبیه سازی در روش های مونت کالو را کاهش داده و در عین حال دقت مورد نیاز را نیز بدست آورند که دو نمونه از روش های مطرح در این خصوص استفاده از روش های کاهش واریانس و استفاده از دنباله های کم پراکنده بوده است. ( معارفیان، 1389 ،ص71-73)