سری های زمانی

یک سری زمانی، رشته ای از مشاهدات مربوط به متغیرهای فیزیکی یا مالی را شامل می شود که به صورت

مقادیر گسسته …x₃،x₂،x₁ و بر اساس یک ترتیب زمانی و با فواصل زمانی یکسان (Δt) نمایش داده می شود.

تحلیل یک سری زمانی با هدف مطالعه ساختار داخلی آن ( خودهمبستگی، روند، تغییرات فصلی و … ) صورت می گیرد تا از این طریق بتوان به درک بهتری از فرایند پویای تولید داده های سری زمانی دست یافت. در مجموع، تحلیل یک سری زمانی مشتمل بر فعالیت های زیر می باشد:

• تعریف، تقسیم بندی و تشریح سری های زمانی.
• مدل سازی بر اساس داده های سری زمانی جمع آوری شده.
• پیش بینی مقادیرآتی.

برای پیش بینی مقادیر آتی یک سری زمانی روش های متنوعی وجود دارد که از نقطه نظر تئوریک سیستمی، آنها را می توان به صورت زیر تقسیم بندی کرد:

• روش های آزاد از مدل، همانند آنچه که در تحلیل هموار سازی نمایی و رگرسیون مورد استفاده قرار می گیرند.
• روش های مبتنی بر مدل، که به طور خاص در مدل سازی داده های سری زمانی و به منطور درک رفتار بلندمدت موجود در سیستم پویا مورد استفاده قرار می گیرند.

2-3-1. روش های تحلیل سری های زمانی

در روش های سنتی، تحلیل سری های زمانی، به عنوان شاخه ای از آمار که عموما مرتبط با موضوع وابستگی های ساختاری موجود میان داده های مشاهده شده از پدیده های تصادفی و پارامترهای مربوطه می باشد تعریف می شود.

اساسا در این شیوه دو روش برای تحلیل سری های زمانی وجود دارد:

• روش مبتنی بر زمان که عمدتا مبتنی بر استفاده از تابع کوواریانس سری های زمانی می باشد.
• روش مبتنی بر فراوانی که بر تحلیل تابع چگالی طیفی و تحلیل فوریر می باشد.

2-3-2. ویژگی های سری های زمانی

ویژگی های عمده سری های زمانی عبارتند از : مانایی، خطی بودن، روند و تغییرات فصلی. اگرچه یک سری زمانی می تواند یکی یا بیش از یکی از این ویژگی ها را داشته باشد اما به منظور بررسی، تحلیل و پیش بینی مقادیر سری زمانی، رفتار هر یک از این اجزاء به طور جداگانه بررسی می شوند. ( پالیت و همکاران، 2005، ص17-18)

سری های زمانی را بسته به ویژگی داده های آنها می توان در دسته های زیر تقسیم بندی نمود:

• مانا و نامانا
• فصلی و غیرفصلی
• خطی و غیرخطی
• یک متغیره و چندمتغیره
• آشوب گونه

2-3-3. مدل سازی سری های زمانی

در مباحث مهندسی، مدل سازی پدیده های پویا همواره به عنوان ابزاری ارزشمند به منظور درک رفتار و ساختار سیستم های پویا مطرح بوده است. در مباحث بازرگانی و مهندسی مالی نیز همانند سیستم های توزیع گاز، سوخت و نیروی الکتریکی، همواره از مدل های ریاضی به منظور پیش بینی تقاضاهای کمی استفاده شده است. این موضوع در حقیقت مهمترین جنبه تحلیل سری های زمانی به شمار می رود که به کاهش و یا حذف اجزاء اخلال و یا نوساناتی که به طور ذاتی در مقادیر مشاهده شده و یا مقادیر محاسبه شده وجود دارند کمک می کند.

به طور کلی در آمار، دو مدل ریاضی پایه مورد استفاده قرار می گیرند:

• مدل های قطعی که به تعبیر ریاضی همان مدل های تحلیلی می باشند که از طریق روابطی قطعی مانند و یا  تعریف می شوند.
• مدل های تصادفی که به تعبیر آماری همان توابع متغیرهای تصادفی می باشند.

مدل های ریاضی که عموما در تحلیل سری های زمانی مورد استفاده قرار می گیرند عبارتند از:

• مدل های رگرسیونی
• مدل های مبتنی بر زمان
• مدل های مبتنی بر فراوانی ( پالیت و همکاران، 2005، ص26-27)

. Palit & Popovic (2005)

معیارهای اطلاعاتی آکائیک و شوارتز

چندین معیار اطلاعاتی به منظور تعیین مرتبه p یک فرایند AR وجود دارد که تمامی آنها مبتنی بر درستنمایی می باشند. به عنوان مثال، معیار اطلاعاتی آکائیک (1973) به صورت زیر می باشد:

(2-1)                                              (تعداد پارامترها)  + (درستنمایی ) ln  = AIC

که تابع درستنمایی در آن به تخمین حداکثر درستنمایی ارزیابی می شود و T اندازه نمونه می باشد.

برای یک مدل AR(l) گاوسین، AIC به شکل زیر خواهد بود:

که  تخمین حداکثر درستنمایی واریانس  یعنی  می باشد. اولین جزء در معیار AIC ، میزان تناسب یا برازندگی مدل AR(l) را بر روی داده ها اندازه می گیرد و جزء دوم ، تابع جریمه معیار نامیده می شود. توابع جریمه متفاوت، منجر به نتایج متفاوتی در معیارهای اطلاعاتی می شوند.

معیار متداول دیگر، معیار اطلاعاتی بیزین (شوارتز) می باشد که برای یک مدل AR(l) گاوسین به صورت زیر می باشد:

جریمه هر پارامتر مورد استفاده در معیار AIC برابر با 2 و در معیار BIC برابر با ln(T) می باشد. بنابراین در معیار BIC تمایل به انتخاب یک مدل AR با مرتبه پایین تر برای نمونه های متوسط یا بزرگ می باشد. در عمل به هنگام استفاده از معیار AIC برای انتخاب یک مدل AR ، ابتدا AIC(l) را برای مقادیر l=0,…,p محاسبه می کنیم ( p یک عدد صحیح مثبت از پیش تعیین شده می باشد). سپس مرتبه k را با توجه به کمترین مقدار بدست آمده برای AIC انتخاب می کنیم. ( تی سی، 2005، ص41-42)

2-3-5. روش باکس- جینز

به منظور تشخیص این موضوع که یک سری زمانی از کدام یک از فرآیندهای AR ، MA ، ARMA و یا ARIMA برخوردار می باشد و در صورت مشخص بودن نوع فرایند، مقادیر p ,q و یا d مربوطه کدام می باشند از این روش استفاده می شود.

روش باکس-جینز مشتمل بر چهار گام زیر می باشد:

گام اول: تعیین مقادیر مناسب برای p, q و d

گام دوم: تخمین پارامترهای اجزاء MA و AR در مدل.

گام سوم: آزمون مدل برای این منظور که آیا مدل ARIMA انتخابی به طور مناسب بر روی داده ها برازش شده است یا اینکه باید در جستجوی مدل ARIMA مناسب دیگری بود. در صورت مثبت بودن پاسخ، مدل وارد گام چهارم می شود.

گام چهارم: بررسی قابلیت پیش بینی مدل انتخابی. ( گجراتی، 2004، ص840-841)

2-3-6. تبدیلات

در برخی موارد نیاز به ایجاد تغییر در داده ها به عنوان مثال، از طریق استفاده از لگاریتم و یا جذر گرفتن می باشد. سه دلیل عمده برای این کار عبارتند از:

• تثبیت واریانس

اگر در یک سری، روند وجود داشته باشد و واریانس با میانگین در حال افزایش باشد در این صورت، انجام تبدیل توصیه می گردد. بویژه اگر انحراف معیار مستقیما نسبتی از میانگین را تشکیل داده باشد، در این صورت استفاده از یک تبدیل لگاریتمی توصیه می شود.

• جمع پذیر نمودن اثر فصلی

اگر در یک سری رونددار، میزان اثر فصلی با میانگین در حال افزایش باشد در این صورت با بهره گرفتن از تبدیل داده ها می توان اثر فصلی را از سالی به سالی دیگر تثبیت نمود. در این صورت گفته می شود که اثر فصلی جمع شونده می باشد. اگر میزان اثر فصلی به طور مستقیم نسبتی از میانگین باشد در این صورت اثر فصلی ضرب شونده خواهد بود و برای تبدیل آن به اثری جمع شونده، نیاز به انجام یک تبدیل لگاریتمی می باشد. این تبدیل تنها در صورتی به تثبیت واریانس می انجامد که جزء اخلال نیز ضرب شونده باشد.

• نرمال ساختن داده ها

مدل سازی و پیش بینی معمولا بر پایه این فرض که توزیع داده ها نرمال می باشد صورت می گیرد. در عمل، ضرورتا این حالت وجود ندارد. به عنوان مثال ممکن است که در یک مقطع زمانی، بواسطه وجود جهش هایی که همگی در یک جهت ( بالا یا پایین) قرار دارند

. Akaike information criterion

[2] . (Schwarz) Bayesian information criterion

[3] . Gaussian

پیش بینی

پیش بینی مقادیر آتی یک سری زمانی مشاهده شده در بسیاری از حوزه های اقتصادی، برنامه ریزی تولید، پیش بینی فروش و کنترل موجودی انبار حائز  اهمیت می باشد.

پیش بینی ها اظهارات شرطی در مورد آینده می باشند که بر پایه فروضی مشخص قرار دارند. بنابراین پیش بینی ها حتمی و قطعی نمی باشند و تحلیلگر می تواند تغییرات لازم را بر حسب هر نوع اطلاعات بیرونی اعمال نماید. هیچ روش منحصر به فردی برای بیش بینی  وجود ندارد که جهان شمول باشد. درمورد پیش بینی های بلندمدت، به کارگیری چندین روش پیش بینی متفاوت مبتنی بر مجموعه هایی از فروض دیگر که سناریوهای دیگری را رقم می زنند مفید می باشد.

روش های پیش بینی را می توان به طور کلی در سه گروه زیر طیقه بندی کرد:

• پیش بینی های ذهنی

این گونه پیش بینی ها بر پایه استفاده از قضاوت، بینش و بصیرت، معلومات تجاری و سایر اطلاعات صورت می پذیرند. این نوع روشها دامنه وسیعی را از استنتاج های جسورانه فردی تا تکنیک دلفی را در برمیگیرند که در آن یک گروه از افراد پیش بینی کننده درصدد می باشند تا از طریق اجماع به یک پیش بینی دست یابند که بازخورد کنترلی پیش بینی های مقدماتی سایر تحلیل گران نیز در آن لحاظ شده باشد.

• پیش بینی های تک متغیره

در این روش، پیش بینی مقادیر یک متغیر بر پایه یک مدل که تنها بر روی مشاهدات گذشته سری زمانی مورد نظر برازش شده است انجام می پذیرد. به این ترتیب  تنها به مقادیر  بستگی خواهد داشت.

برخی از روش های مورد استفاده در این نوع پیش بینی ها عبارتند از: تعمیم منحنی های روند، هموارسازی نمایی ، روش هالت-وینترز، روش باکس-جنکینز، اتورگرسیون مرحله ای

• پیش بینی های چندمتغیره

در این روش، پیش بینی مقادیر یک متغیر حداقل تا اندازه ای به مقادیر یک سری یا بیش از یک سری بستگی دارد که متغیرهای پیش بینی کننده یا توضیحی نام دارند.

برخی از روش های مورد استفاده در این نوع پیش بینی ها عبارتند از: رگرسیون های چندمتغیره و مدل های اقتصادسنجی

در عمل، یک روش پیش بینی ممکن است ترکیبی از روش های فوق باشد. یک روش دیگر در تقسیم بندی روش های پیش بینی، روشی است مابین یک روش خودکار – که بدون دخالت انسان باشد – و یک روش غیرخودکار – که مستلزم وارد کردن برخی از ورودی های ذهنی توسط شخص پیش بینی کننده می باشد. مورد اخیر، تلفیقی از روش های ذهنی و روش های چندمتغیره می باشد. ( چتفیلد، 1995، ص66-67)

2-3-8. انواع واریانس

روش های سنتی تجزیه وتحلیل سری های زمانی عمدتا مرتبط با تجزیه واریانس یک سری به روند، واریانس فصلی، سایر تغییرات چرخه ای و نوسانات نامنظم داده ها در طول دوره می باشد. این روش همیشه بهترین روش نمی باشد اما در شرایطی که واریانس تحت تاثیر روند یا اثرات فصلی قرار می گیرد مناسب می باشد. منابع متفاوت واریانس عبارتند از:

• اثر فصلی

بسیاری از سری های زمانی از قبیل ارقام فروش و دمای هوا، یک واریانس سالیانه را در طول دوره نشان می دهند. این واریانس سالینه را می توان به راختی تشخیص داد و آن را به سادگی محاسبه نمود و یا اینکه می توان اثر آن را در داده ها حذف کرد.

• سایر تغییرات چرخه ای

صرفه نظر اثرات فصلی، برخی از سری های زمانی در یک دوره ثابت به جهت برخی علل فیزیکی دیگر واریانس را نشان می دهند، مانند واریانس روزانه دمای هوا. به علاوه، برخی از سری های زمانی نوساناتی را نشان می دهند که در یک دوره ثابت رخ نمی دهند، اما تا حدودی قابل پیش بینی می باشند. به عنوان مثال در برخی مواقع چرخه های تجاری در یک دوره ای که حدودا بین 5 تا 7 سال می باشد داده های اقتصادی را تحت تاثیر قرار می دهند. اگرچه که در خصوص وجود چنین چرخه های تجاری بحث وجود دارد.

• روند

در یک تعریف ، روند را تغییرات بلندمدت در سطح میانگین تعریف کرده اند. مشکلی که در این تعریف وجود دارد این است که منظور از بلندمدت چیست؟ ممکن است که در کوتاه مدت چنین نوسان بلندمدتی به شکل معنی دارتری یک روند تلقی گردد. بنابراین به هنگام صحبت در مورد روند باید تعدادمشاهدات در دسترس را مورد توجه قرار داد و یک تخمین ذهنی در مورد آنچه که بلندمدت نامیده می شود به عمل آورد. گرانگر (1966)  در یک تعریف، روند در میانگین را شامل تمامی اجزاء چرخه ای می داند که طول موج (نوسان) آنها از طول سری زمانی مشاهده شده فراتر رود.

. Variance

. Trend

ویژگی های سری های زمانی مالی

اغلب سری های زمانی مالی از روند مشخصی برخوردار می باشند و نوسان داده ها در آنها در طول زمان ثابت نمی باشند. ( اندرس، 2004، ص108-109)  برخی دیگر از ویژگی های این نوع داده ها عبارتند از : دنباله های پهن، نوسانات خوشه ای، اثرات اهرمی، حافظه بلندمدت، هم حرکتی در نوسان و رفتار گشت تصادفی

• دنباله های پهن

اولین بار باچیلر (1990) مدل گام تصادفی را برای قیمت های بازار سهام پیشنهاد کرد. بر این اساس، بازده سهام یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال است؛ ولی این فرض در دهه 1960 که برای اولین بار وجود دنباله های سنگین بازدهی ها مشخص شد، مورد تردید قرار گرفت. به طور مشخص، نخستین بار مندلبروت (1963) و سپس فاما (1965) و مندلبورت و تیلور (1967) مطرح کردند که سری بازدهی تمایل به توزیع قله ای ( لپتوکورتیک ) دارد. به بیان دیگر، عاملان بازار، افزایش یا کاهش های شدید بازدهی را محتمل می دانند.

مقایسه توزیع سری های زمانی مالی از قبیل بازده سهام با توزیع نرمال نشان می دهد که توزیع این داده ها دم پهن و از کشیدگی بیشتری برخوردار می باشند. گشتاور چهارم توزیع نرمال 3 می باشد در حالیکه در بیشتر داده های مالی این مقدار بیشتر از 3 می باشد. ( ایدمیر، 2002، ص1-45)

• نوسانات خوشه ای

نوسانات خوشه ای بر متغیر بودن واریانس بازدهی در طول زمان دلالت دارد. ممکن است سری بازدهی در دوره های مختلف رفتارهای متفاوتی را از خود به نمایش بگذارد. یعنی، در برخی دوره ها دارای نوسان کم و دوره های دیگر دارای نوسان زیاد باشد. در چنین شرایطی انتظار می رود که واریانس متغیر تصادفی بازدهی ثابت نبوده و تابعی از رفتار جملات خطا باشد. وجود نوسانات خوشه ای را مندلبورت (1963) این گونه بیان می کند که: ” این تمایل وجود دارد که تغییرات بزرگ با تغییرات بزرگ و در همان جهت، و تغییرات کوچک نیز با تغییرات کوچک و در همان جهت همراه باشند.” ( بلرسلو، انگل و نلسون، 1994)

این نوسانات هنگامی ظاهر می شوند که دوره هایی که در آنها آرامش بر بازار حاکم است با دوره هایی که در انها آشفتگی شدیدی وجود دارد با یکدیگر تلاقی می نمایند. تغییری که میان این دو رژیم کاملا متفاوت رخ می دهد فرآیندی است که طی آن، بازده های بزرگ تا رسیدن به یک وضعیت نسبتا آرام به تدریج کاهش می یابند. (بالی و همکاران، 2008)

-        اثرات اهرمی

اثر اهرمی به رابطه منفی بازدهی سهام با ریسک سهام دلالت دارد. یعنی اگر بازدهی سهام افزایش یابد، میزان نوسان بازدهی سهام کاهش می یابد و برعکس. اثر اهرمی ابتدا توسط بلک (1967) مطرح شد. ( بلرسلو، انگل و نلسون، 1994)  نکته مهم در این نظریه، نامتقارن بودن نوسانات نسبت به افزیش و کاهش بازده سهام است. به بیان دیگر، شوک های منفی اثر بیشتری در مقایسه با شوک ها و اخبار مثبت بر جای می گذارند.

این ویژگی بیان می کندکه تغییرات قیمت بانوسان همبستگی منفی دارد. (ایدمیر،2002،ص1-45)

• حافظه بلندمدت

این ویژگی به ماندگاری شدید اثر شوک ها به ویژه درمورد داده هایی که نوسان بالایی دارند اشاره دارد. ( ایدمیر، 2002، ص1-45)  به عبارتی دیگر، شوک های وارده بر یک سری از داده ها ماندگاری (چسبندگی) بالایی را در طول زمان از خود نشان می دهند. (اندرس، 2004، ص109)

• هم حرکتی در نوسان

هنگامی که به سری های زمانی مالی از قبیل بازده های نرخ ارز در بازارهای مختلف نگاه می کنیم متوجه این نکته می شویم که تغییرات بزرگ در قیمت یک ارز با تغییرات بزرگ در قیمت ارزی دیگر با یگدیگر هماهنگ می باشند. این موضوع، اهمیت مدل های چندمتغیره در مدل سازی همبستگی متقابل موجود در بازارهای متفاوت را آشکار می سازد. ( ایدمیر، 2002، ص1-45)

• رفتار گشت تصادفی

در این نوع از سری های زمانی مقادیر متغیرها به طور مستمر دوره هایی از افزایش و کاهش را نشان می دهند بدون آنکه تمایلی به بازگشت به میانگین در بلندمدت در آنها وجود داشته باشد. این نوع رفتار گشت تصادفی از مشخصه های سری های نامانا به شمار می رود. ( اندرس، 2004، ص109)

. Thick tail

. Random Walk

. Mandelbort, (1963)

. Fama, (1965)

. Mandelbort and Taylor, (1967)

. Leptokurtic

. Aydemir (2002)

. Bollerslev, Engel and Nelson, (1994)

. Bali, T. G., Mo, H. and Tang, Y., 2008

. Leverage effect

. Black, (1967)

شبیه سازی مونت کارلو

روش شبیه سازی مونت کارلو نمونه و شاخه ای از ریاضیات عملی یا آزمایشی بوده که بدنبال کشف و استنتاج روابط مربوط به اعداد تصادفی می باشد. در طول دهه گذشته کاربردها و کارکردهای مربوط به روش شبیه سازی مونت کارلو رو به گسترش و فزونی بوده و دامنه گسترده ای از پزشکی و بیولوژی تا فیزیک هسته ای و تحقیق در عملیات را در برگرفته است.

یکی از مباحث کلیدی در مورد شبیه سازی مونت کارلو استفاده از تولیدکننده های اعداد تصادفی بوده است. یک تولیدکننده اعداد تصادفی وسیله ای فیزیکی و یا روشی محاسباتی است که برای تولید دنباله ای از اعداد که از الگوی خاصی تبعیت نموده ( یعنی بطور تصادفی ظاهر شده اند) به کار می رود.سیستم های رایانه ای بطور وسیعی برای تولید اعداد تصادفی مورد استفاده قرار می گیرند در حالی که تولیدکننده های خوبی نبوده اند هر چند الگوهای آنها به راحتی قابل تشخیص نبوده است. کاربرد بسیار این اعداد موجب گوناگونی و فراوانی روش های تولید این اعداد ( از لحاظ مدت زمانی که برای تولید این اعداد سپری می شود و الگوهای مورد استفاده آنها) شده است.

برای اولین بار استفاده عملی از روش شبیه سازی مونت کارلو در خلال جنگ جهانی دوم و در خصوص تحقیقاتی پیرامون نحوه عمل بمب های اتمی صورت پذیرفت و از آن تاریخ تا کنون بر گستره کارکردها و کاربردهای این روش روز به روز افزوده شده است.یکی از دلایل اصلی این افزایش، ظهور نسل های جدیدی از رایانه ها با قدرت پردازش فوق العاده بوده که توانسته اند سرعت و دقت روش شبیه سازی مونت کارلو را به مقدار قابل توجهی افزایش دهند.

روش شبیه سازی مونت کارلو راه حل هایی تقریبی با بهره گرفتن از نمونه گیری آماری و فرآیندهای تصادفی برای دامنه گسترده ای از مسائل موجود از ریاضیات و دیگر شاخه های علوم بوجود آورده است. این روش نوعی روش شبیه سازی آماری بوده که توانسته شبیه سازی مربوطه را با بهره گرفتن از دنباله هایی از اعداد تصادفی محقق نماید. روش شبیه سازی مونت کارلو در واقع مجموعه ای از روش هایی متفاوت بوده که اساسا فرایند یکسانی را طی می نمایند. این فرایند، شبیه سازی های متعددی را با بهره گرفتن از اعداد تصادفی در جهت دستیابی به جوابی تقریبی برای مسئله موردنظر ممکن می سازد. ویژگی و مشخصه اصلی روش شبیه سازی مونت کارلو این بوده است که می تواند با بهره گرفتن از تولید کننده های اعداد تصادفی و تولید اینگونه اعداد در حجم بسیار زیاد جواب هایی منطقی و درست در خصوص پدیده های فیزیکی ارائه نماید. ( معارفیان، 1389، ص16-17)

2-5-1. تاریخچه شبیه سازی مونت کارلو

مونت کارلو نام شهری در ناحیه موناکو واقع در جنوب شرقی فرانسه است که به خاطر قمارخانه هایش بسیار معروف بوده است. ظهور روش مونت کارلو اغلب به کار استنیسلو یولام ریاضی دان لهستانی برمی گردد که در طی جنگ جهانی دوم برای شرکت نومن در پروژه منهتن کار می کرد. یولام در سال 1951 میلادی به همراه ادوارد یلر، بمب هیدروژنی را طراحی نمود. وی بیشتر شهرت خود را به همین دلیل کسب کرده است. یولام در سال 1946 میلادی هنگامی که در مورد احتمال برد بازی ورق تعمق می کرد، فکر استفاده از روشی را که بعدا مونت کارلو نامیده شد را در ذهن پروراند. او بعد از تلاش فراوان برای حل این مسئله از طریق محاسبات ترکیبی، به فکر افتاد که اگر چندین دست داشت می توانست بازی را به کرات انجام دهد و فراوانی بردها را عینا ملاحظه نماید. این اندیشه او را بر آن داشت تا مسائل مربوط به انتشار نوترون و دیگر سوالات مرتبط با حوزه های ریاضیات و فیزیک را به گونه ای مورد ملاحظه قرار دهد که بر اساس توالی عملکردهای تصادفی قابل تبیین و تفسیر باشند.

امروزه از شبیه سازی مونت کارلو به عنوان روشی یاد می شود که در برگیرنده هر تکنیک نمونه برداری آماری، جهت ارائه پاسخ هایی تقریبی از مسائل کمی بوده است. این نکته را بایستی مدنظر قرار داد که یولام نمونه برداری آماری را کشف نکرده بود بلکه این کار قبلا برای حل مسائل کمی از طریق فرآیندهای فیزیکی مانند پرتاب تاس یا برداشت کارت مورد استفاده قرار گرفته بود.

در واقع کمک یولام به بسط شبیه سازی مونت کالو، تشخیص امکان استفاده از رایانه ها به منظور خودکارسازی نمونه برداری تصادفی بوده است. ادامه همکاری های او با نومن و نیکلاس متروپلیس به توسعه الگوریتم های رایانه ای و نیز بسط ابزار تبدیل مسائل غیرتصادفی به شکلی تصادفی منجر گردید که باعث تسهیل حل آنها از طریق نمونه برداری آماری شده بود. این بسط و توسعه، نمونه برداری آماری را از امری مهجور در ریاضیات به یک متدولوژی رسمی مبدل نمود که برای طیف وسیعی از مسائل متنوع قابل استفاده و بکارگیری بوده است. شرکت متروپلیس این روش و ایده جدید را شبیه سازی مونت کالو نام نهاد. در سال 1949 میلادی یولام و متروپلیس اولین مقاله خود را در زمینه روش شبیه سازی مونت کارلو در مجله انجمن آماری آمریکا به چاپ رساندند.

در حوزه علوم مالی، شبیه سازی مونت کارلو از سال 1970 برای قیمت گذاری اوراق مشتقه و برآورد نسبت های پوشش یونانی مورد استفاده قرار گرفته است. ( معارفیان، 1389 ،ص64-65)

. S. Ulam

. Nicholas Metropolis