روش های تولید اعداد تصادفی

روش های تولید اعداد تصادفی در مجموع به دو گروه کلی قابل تقسیم بندی بوده اند که این دو گروه عمده عبارتند از: روش هایی که برای تولید اعداد تصادفی نیازمند شناسایی تابع توزیع مربوطه بوده اند و روش هایی که برای تولید اعداد تصادفی نیازی به شناسایی تابع توزیع نداشته اند. در گروه اول روش هایی مانند روش تبدیل معکوس، روش نام مستعار، روش ترکیبی و روش رد-پذیرش قابل طرح بوده است و در گروه دوم نیز روش های مبتنی بر روابط بازگشتی مطرح بوده که مهمترین آنها روش مولد متجانس خطی بوده است. ( معارفیان، 1389 ،ص59)

2-5-5. فرایند شبیه سازی مونت کارلو

برخی از دانشمندان علم آمار، این علم را به دو شاخه نظری و تجربی تقسیم بندی نموده اند. آمار تجربی به روش هایی اطلاق می شود که با بهره گرفتن از روش های شبیه سازی، خواص برآورد کننده ها مطالعه می شوند. این روش ها به شبیه سازی مونت کارلو مرسوم شده است. روش های مونت کارلو، به روش هایی اطلاق می شود که بر اساس دنباله ای از اعداد تصادفی به بررسی مسائل می پردازد. نام مونت کارلو اولین بار توسط متروپلیس به دلیل شباهت شبیه سازی آماری به بازی های شانسی و به دلیل اینکه شهر مونت کارلو مرکز ناحیه کوچک موناکو، مرکز بازی های شانسی بود، به کار گرفته شد. امروزه این روش در بسیاری از علوم مورد استفاده قرار می گیرد.

عموما شبیه سازی مونت کارلو زمانی مورد استفاده قرار می گیرد که یا روش های تحلیلی در دسترس نبوده و یا به قدری پیچیده بوده اند که با بهره گرفتن از این روش می توان به راه حلی ساده تر دست یافت. بنابراین به طور کلی می توان گفت که با افزایش پیچیدگی و یا ابعاد مسائل، جذابیت استفاده از شبیه سازی مونت کارلو نیز به مقدار قابل توجهی افزایش می یابد.

ایده شبیه سازی مونت کارلو بر مبنای شبیه سازی مکرر فرایند تصادفی حاکم بر قیمت و یا بازده ابزار مالی موردنظر بوده است. ( معارفیان، 1389، ص65-66)

2-5-6. روش های شبیه سازی مونت کارلو

روش مونت کارلو از اعداد تصادفی برای شبیه سازی پدیده ها استفاده می نماید. اعداد تصادفی اغلب بر اساس الگوریتم های خاصی تولید می شوند. البته آنچه که امروزه به عنوان اعداد تصادفی مصطلح بوده، اعداد شبه تصادفی بوده است که توسط الگوریتم های ریاضی خاصی توسط رایانه ها تولید می شوند. همه الگوریتم های موجود در این مورد نیز دقیق و مناسب نبوده اند. برای مثال یک الگوریتم ممکن است در بیشتر موارد اعداد بزرگ تولید کند یا نوعی همبستگی در دنباله اعدادش مشاهده شود. مثلا ممکن است هر پنجمین عددش بزرگ باشد.

برای تشخیص کیفیت تصادفی بودن اعداد تولید شده توسط یک الگوریتم، می توان زوج های تصادفی از این اعداد را در دستگاه محور مختصات دکارتی رسم نمود. اگر تجمع در یک قسمت از صفحه مختصات بیشتر باشد نشان دهنده کیفیت پایین این اعداد بوده است. اگر اعداد تولید شده تقریبا همان خواص اعداد تصادفی را دارا باشند در عمل عنوان تصادفی به آنها اطلاق می شود.

تنها یک روش مونت کارلو وجود نداشته است، بلکه این واژه به گستره وسیعی از روش هایی اطلاق می گردد که از الگوی مشخصی همانند الگوی ذیل تبعیت می نمایند:

• محدوده ای از ورودی های ممکن را تعریف نمایند.
• از محدوده موردنظر ورودی های تصادفی تولید نمایند.
• با بهره گرفتن از ورودی های بدست آمده یک سری محاسبات مشخص را انجام می دهند.
• نتایج هر یک از اجراهای محاسباتی را در پاسخ نهایی ادغام می نمایند.

روش شبیه سازی مونت کارلو را تقریبا می توان برای حل مسائلی با هر درجه ای از پیچیدگی مورد استفاده قرار داد. همچنین به راحتی می توان عواملی همانند وابستگی مسیر، دنباله های ضخیم، غیرخطی بودن و غیره را که دیگر رویکردهای موجود در مواجهه با آنها با مشکل مواجه بوده اند را نیز به راحتی با شبیه سازی مونت کارلو اداره نمود. رویکردهای شبیه سازی در عمل برای حل مسائل چند بعدی نیز مفید بوده اند. این مسائل شامل موقعیت هایی بوده که نتایج آنها به بیش از یک عامل ریسک بستگی داشته اند.

روش های شبیه سازی مونت کارلو تنها می توانند جواب هایی تقریبی در مورد مسائل گوناگون ارائه نمایند. بنابراین همواره مقداری خطا در جواب های حاصله از انها وجود دارد. تلاش در جهت حداقل نمودن میزان خطای پیش گفته موجب بوجود آمدن روش های شبیه سازی مونت کارلوی متنوعی شده است بنابراین بسته به روش های متفاوت مونت کارلو میزان خطا و دقت جواب آنها نیز متفاوت بوده است. ماهیت و نوع مسئله و میزان دقت مورد نیاز عوامل کلیدی جهت انتخاب روش شبیه سازی مونت کارلوی موردنظر بوده است. ( معارفیان، 1389 ،ص 66-68)

. Inverse-Transform Method

. Alias Method

. Composition Method

. Acceptance-Rejection Method

کاربردهای شبیه سازی مونت کارلو

مسائلی که با بهره گرفتن از روش های متنوع شبیه سازی مونت کارلو قابل حل بوده اند را می توان به دو گروه کلی مسائل قطعی و مسائل احتمالی تقسیم بندی نمود که رویه ها و فرآیندهای مربوط به هر دو گروه بطور مستقیم با فرآیندهای تصادفی در ارتباط بوده اند. در این گونه از مسائل یکی از ساده ترین راه حل ها، استفاده از رویه های مربوط به شبیه سازی مونت کارلو بوده که در آنها در گام اول اعداد تصادفی موجود را مشاهده نموده و سپس در گام بعد به دنبال روشی جهت شبیه سازی مستقیم فرآیندهای تصادفی مربوط به مسئله اولیه بوده ایم و در ادامه راه حلی منطقی و مطلوب از شبیه سازی اعداد تصادفی استنتاج می نماییم.

مطالعه در مورد میزان رشد جمعیت حشرات با در نظر گرفتن فرضیات آماری مشخص در مورد زنده ماندن آنها و مطالعات مربوط به طراحی راکتورهای هسته ای نمونه هایی از مسائل احتمالی بوده که با بهره گرفتن از روش های شبیه سازی مونت کارلو قابل حل بوده اند. این مسائل و مسائلی مانند آنها، مسائلی بوده اند که تا قبل از پیدایش روش های مونت کارلو  روش های قابل قبولی جهت حل آنها وجود نداشته است، اما با پیدایش و استفاده از روش های شبیه سازی مونت کارلو این گونه مسائل نیز قابل حل گشته اند.

از سوی دیگر یکی از مهمترین نقاط قوت ریاضیات تئوری، که در آن به دنبال نتیجه گیری و کشف ارتباطات از طریق قیاس های منطقی بوده ایم در مقابل ریاضیات کاربردی و عملی که در آن نتیجه گیری و کشف روابط از طریق مشاهدات متنوع و گسترده حاصل می شود، جامعیت آن بوده است بدین معنی که مسائل مربوط به این شاخه از ریاضیات را می توان با بهره گرفتن از علائم و روابط کلی مطرح و حل نمود. البته مزیت پیش گفته ممکن است این عیب را نیز به همراه داشته باشد که رابطه نهایی تولید شده در مورد این مسائل ممکن است آن چنان پیچیده و مشکل شده باشد که دیگر قابل حل حتی از طریق روش های عددی نیز نباشند.

ایده اصلی مربوط به مسائل قطعی که با بهره گرفتن از روش های شبیه سازی مونت کارلو قابل حل بوده اند نیز مربوط به این گروه از مسائل ریاضی و جهت رفع عیب گفته شده در خصوص این مسائل بوده است. روش های شبیه سازی مونت کارلو با بهره گرفتن از فرآیندهای تصادفی سعی می نمایند جواب هایی قابل قبول برای مسائل قطعی که در ریاضیات تئوری قابل مشاهده بوده است ارائه نمایند و به این ترتیب راه حلی عددی برای این گونه مسائل عرضه نمایند. برای مثال مسئله ای در تئوری الکترومغناطیسی که نیازمند حل با بهره گرفتن از رابطه لاپلاس و با شرایط مرزی مشخصی بوده است نمونه ای از گونه مسائل پیش گفته بوده است که می توان آن را با بهره گرفتن از روش شبیه سازی مونت کارلو حل نمود.

کاربردهای شبیه سازی مونت کارلو بسیار متنوع بوده است، اما در حالت کلی می توان تمامی آنها را در قالب دو گروه مسائل ریاضی ذیل مطرح نمود:

1. مسائلی که نیازمند حل مشتقات جزئی بوده است.
2. مسائلی که نیازمند حل انتگرال بوده است.

گرچه گستره کاربرد روش های شبیه سازی مونت کارلو بسیار متنوع بوده است، اما با این وجود دو گروه مسائل مطرح شده فوق عمده ترین مسائلی بوده اند که با بهره گرفتن از شبیه سازی مونت کارلو می توانیم آنها را حل نمائیم.

بر اساس قانون قوی اعداد بزرگ که در سال 1971 میلادی توسط  فلر مطرح شده است، اگر مقدار N یعنی تعداد اعداد تصادفی انتخاب شده یا تعداد تکرارهای شبیه سازی در روش شبیه سازی مونت کارلو به سمت بی نهایت میل نماید میزان خطای این روش نیز به سمت صفر میل نموده و در این حالت مقدار دقت جواب حاصله از این روش حداکثر بوده است.

دقت روش های شبیه سازی مونت کارلو  به صورت نسبتی از  مطرح بوده است که در آن مقدار N بیانگر تعداد نقاط تصادفی بوده است. این رابطه نشان می دهد که جهت دستیابی به دقت مورد نیاز بایستی تعداد نقاط تصادفی و به بیانی دیگر تعداد تکرارهای مربوط به شبیه سازی را افزایش داد و هر چقدر این مقادیر را افزایش داد دقت جواب مسئله نیز بیشتر و خطای مربوط به آن کمتر خواهد شد. روش های متعددی مطرح شده اند تا تعداد تکرارهای شبیه سازی در روش های مونت کالو را کاهش داده و در عین حال دقت مورد نیاز را نیز بدست آورند که دو نمونه از روش های مطرح در این خصوص استفاده از روش های کاهش واریانس و استفاده از دنباله های کم پراکنده بوده است. ( معارفیان، 1389 ،ص71-73)

 مزایا و معایب شبیه سازی مونت کالو

شبیه سازی مونت کالو دارای مزایایی به شرح ذیل بوده است:

• • کاربرد آن پس از توسعه برنامه رایانه ای مربوطه آسان بوده و در این خصوص نرم افزارهای متعددی نیز موجود بوده است.

• برخلاف رویکردهای تحلیلی و یا رویکردهایی که راه حل هایی بسته ارائه می نمایند، در شبیه سازی مونت کارلو می توان فرآیندهای تصادفی پیشرفته تر از حرکت هندسی براونی را نیز ملحوظ نمود.
• در شبیه سازی مونت کارلو هیچ مورد و مشکلی برای اداره عوامل ریسک چندگانه ، همبستگی ها و دنباله های پهن وجود نداشته است.
• تعدیل و بهبود روش های شبیه سازی مونت کارلو آسان بوده است.
• برخلاف بسیاری از رویکردهای تحلیلی، در شبیه سازی مونت کارلو هیچ مسئله ای در رابطه با پیچیدگی های مربوط به وابستگی مسیر وجود ندارد.
• می توان از شبیه سازی مونت کارلو برای سبدهایی با ابزارهای ناهمگن و یا پیچیده مانند اوراق مشتقه اعتباری، اوراق بهادار با پشتوانه وام های رهنی و غیره نیز استفاده نمود.
• روش های شبیه سازی مونت کارلو را می توان به طرز قابل ملاحظه ای برای افزایش دقت و یا کاهش زمان محاسبه، پالایش نمود.
• شبیه سازی مونت کارلو می تواندشاخص هایی از دقت نتایج حاصله را نیز مشخص نموده و ارائه نماید. همچنین در این روش برآورد فواصل اطمینان بر اساس شاخص های پیش گفته بسیار ساده بوده است.
• در شبیه سازی مونت کارلو به راحتی می توان دقت نتایج را با افزایش تعداد تکرارها یا به بیان دیگر شبیه سازی ها افزایش داد.

برخی از معایب رویکرد شبیه سازی مونت کارلو عبارت است از:

• به علت تعداد محاسبات زیاد مورد نیاز ممکن است سرعت پاسخگویی آن بسیار کند باشد. خصوصا زمانی که با تعداد زیادی از عوامل ریسک سروکار داریم.
• در برخورد با مسائلی که ابعاد کمی دارند، نسبت به روش های تحلیلی از کارایی کمتری برخوردار بوده است.
• گاهی اوقات درک آنها مشکل بوده و اغلب برای کاربرد آن به مهارت های برنامه نویسی نیاز بوده است.

در نهایت بایستی عنوان نمود که یکی از عمده ترین ایرادات وارده بر روش شبیه سازی مونت کارلو سرعت همگرایی پایین آن بوده که این مسئله سرعت نیل به جواب را در این روش به مقدار قابل توجهی کاهش داده و شبیه سازی ها و تکرارهای متعدد را جهت دستیابی به جوابی قابل قبول ضروری ساخته است. جهت رفع ایراد پیش گفته و افزایش سرعت همگرایی در روش شبیه سازی مونت کارلو از روش های کاهش واریانس استفاده می شود.

روش های کاهش واریانس که دامنه گسترده ای از روش های مختلف مانند متغیرهای نقیض، کنترل نوسانات و نمونه گیری اهمیت را شامل می شوند به دنبال افزایش سرعت همگرایی در روش شبیه سازی مونت کارلو بوده اند. راه حل دیگر جهت بهبود سرعت نیل به جواب، استفاده از روش شبیه سازی شبه مونت کالو بوده است که در آن به جای استفاده از دنباله های تصادفی از دنباله های کم پراکنده استفاده می شود. در این روش تمرکز اصلی بر تولید اعدادی بوده است که بتوانند به صورتی یکنواخت تمام دامنه مسئله را پوشش دهند. ( معارفیان، 1389 ، ص73-74)

• فاجعه‌ها

خطر می‌تواند به صورت اتفاقی نادر و سخت که اثراتی منفی بر جان، مال و محیط اطراف ما  دارد، تعریف شودو این ممکن است به یک فاجعه منجر شود [5]. لذا هر رویدادی که جان ، مال و محیط اطراف ما را به خطر می‌اندازد و ویران می‌کند، می‌تواند به عنوان یک فاجعه در نظر گرفته‌ شود. به بیان دیگر فاجعه‌ها می‌توانند درد و ناراحتی زیادی برای بشریت به‌وجود آورند و فعالیت‌های روزمره را مختل سازند.

برخی پژوهش‌گران مانند کنی و راسل باور دارند که فجایع واقعی فجایع اقتصادی هستند [6،7]. به این دلیل که سیستم مدیریت فاجعه بهتر، نیازمند سرمایه‌گذاری بلند‌مدت در زیر‌ساخت و آگاهی عمومی است. اکیهال [8] می‌گوید که فجایع هنگامی که نوسانات سیستم‌های زیست‌محیطی و زمین‌شناسی بیش از کران ظرفیت جذب این‌گونه نوسانات باشد، رخ‌می‌دهند.

• طبقه‌بندی فجایع

فجایع به دو طبقه اصلی فجایع طبیعی و فجایع ساخت بشر تقسیم می‌شوند [5]. بلایای طبیعی نتایج مستقیم یا غیر مستقیم رخ‌دادهای طبیعی هستند، که منشأشان می‌تواند از سه منبع اصلی هواشناسی، زمین‌شناسی و زیست‌شناسی باشد [9]. شکل 2-1 تعداد رخ‌دادهای هر طبقه از بلایای طبیعی را با توجه به منبع آن‌ ها در قرن اخیر مقایسه می‌کند.این شکل به وضوح الگوی رشد متمایز فجایع هواشناسی را در مقایسه با سایر انواع بلایای طبیعی نشان می‌دهد، که می‌تواند به تغییرات آب و هوا و گرم شدن جهانی نسبت ‌داده ‌شود. بلایای طبیعی مانند طوفان، زلزله، سیل، خشک‌سالی، بیماری‌های همه‌گیر و فعالیت‌های آتشفشانی هستند (شکل2-2 را برای طبقه‌بندی جامع‌تر از بلایای طبیعی و نرخ رخ‌دادشان در سال‌های 1990 الی 2005 ببینید). از سوی دیگر، بلایای ساخت ‌بشر یا بلایای تکنولوژیکی نتایج مستقیم فعالیت‌های انسانی می‌باشند، خواه به‌طور عمد (جنگ و حمله تروریستی) و خواه غیرعمد (سوانح صنعتی و شکستن زیرساخت‌ها). فجایع اثرات زیان‌بار متعددی شامل از دست رفتن جان انسان‌ها، ویرانی زیرساخت‌ها و گسستگی شرایط اقتصادی را در پی دارند. لازم به ذکر است، که رویدادهای پرخطر که خارج از محل سکونت انسان اتفاق ‌می‌افتند، فاجعه نیست. مثلاً یک زلزله شدید که در بیابان خالی از سکنه اتفاق ‌می‌افتد تأثیر اندکی بر جان یا محیط اطراف انسان‌ها دارد و بنابراین یک فاجعه نیست. یک چنین زلزله‌ای در منطقه‌ای پرجمعیت، رویدادی فاجعه‌بار تلقی می‌شود.

  Cuny and Russell

Akkihal

• تأثیرات فجایع بر ملت‌ها

فجایع با تلفات و ویرانی‌های انبوه شناخته شده‌اند. در قدیم، به‌دلیل کمبود برنامه‌ریزی از پیش تعیین‌شده و ظرفیت‌های محدود جوامع در پاسخ‌گویی به رویدادهای فاجعه‌بار در دامنه‌ی وسیع، فاجعه می‌توانست تا از میان بردن کل جامعه به پیش برود (فوران فاجعه‌بار آتشفشان وزوو شهر پمپی را دفن کرد). هنوز فجایع تلفات و خسارت‌های بسیاری را به دلیل اقدامات پیش‌گیرانه غیرموثر، آمادگی ناکامل و سیستم‌های لجستیک نجات ضعیف، به بار می‌آورند.

کمی‌سازی اثرات فجایع، درک ما را از تأثیرات غیر‌قابل جبران فجایع افزایش می‌دهد (جدول‌های 2-1،2-2 و2-3). عامل‌های اولیه‌ای که در تحلیل هر فاجعه باید در‌نظر‌گرفته‌شوند، معمولاً تعداد تلفات انسانی و مردم آواره هستند. جدول 2-1 آمار فاجعه را در چهار کشور چین، هند، ایران و ایالات متحده نشان‌می‌دهد. در دوره بیست‌وهشت ساله در نظر گرفته‌شده، 376000 نفر، تنها در این چهار کشور کشته شده‌اند. بر اساس داده‌های آماری قرن بیستم، بیش از سه و نیم میلیون نفر تحت تأثیر بلایای طبیعی مانند سیلاب‌ها، زلزله‌ها و فوران آتشفشان (قحطی در این جمع محاسبه نشده‌است) کشته شده‌اند[15]. تخمین‌زده می‌شود که پانزده میلیون نفر در اثر فجایع در هزاره دوم جان خود را از دست داده‌اند[16].

سایر عامل‌های مهم در تحلیل فاجعه هزینه عملیات نجات و آسیب اقتصادی فجایع هستند. در یک دهه اخیر، پول زیادی بر اثر فجایع از بین رفت یا هزینه شد. در سال 2003، در حدود شش بیلیون دلار در عملیات نجات بشر در سراسر جهان خرج شد. در بیست‌و‌دوم مارچ سال 2005، 4/6 بیلیون دلار، تنها برای پاسخ به سونامی هزینه شده‌ است[17]. جدول 2-2 ضرر اقتصادی ایجادشده از وقوع بلایای طبیعی و جدول 2-3 ضرر اقتصادی ناشی از فجایع ساخت بشر را نشان می‌دهند. فجایع طبیعی نزدیک به 1200 بیلیون دلار خسارت و ضرر اقتصادی را در سال‌های 1991-2005 تحمیل کرده‌اند [13]. برای مثال، بسیاری از بخش‌های اقتصادی کشورهای آسیایی شامل ماهی‌گیری، کشاورزی، دام‌داری، توریست و شغل‌های کوچک به شدت در اثر سونامی سال 2004 ضربه خوردند [18]. تنها در ایالات متحده ضربه اقتصادی بیش از 483 بیلیون دلار در اثر 601 فاجعه در سال‌های 1980-2008 گزارش شده‌است. جدول 2-4 نتایج برخی از رایج‌ترین بلایای طبیعی را خلاصه ‌می‌کند. یک تحلیل کوتاه این جدول نشان‌می‌دهد که علاوه بر تلفات و از‌بین‌رفتن خانه‌ها و زیر‌ساخت‌ها، فاجعه‌ها هم‌چنین می‌توانند به تخریب‌های اجتماعی-اقتصادی مانند بی‌کاری، مهاجرت، توقف تجارت روزانه و فعالیت‌های صنعتی منجر شوند. لذا طراحی اقدامات پیش‌گیرانه و برنامه‌های بهبودبخش ضروری هستند.

جدول2-1- خسارت‌های ناشی از فجایع در چهار کشور در طی سال‌های 1980 الی 2008 [12] .

Vesuvius

Pompeii